Question

已知函数f（x）=alnx-3x+

1

x

，其中a为常数，a∈R．
（1）若f（x）是一个单调递减函数，求a的取值范围；
（2）当a=4时，求方程f（x）=0在（e^-10，+∞）上根的个数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f′（x）=

a

x

-3-

1

x2

，根据已知条件知f′（x）≤0对于x∈（0，+∞）上恒成立，得到a≤3x+

1

x

恒成立，所以只要求函数3x+

1

x

的最小值即得a的取值范围；
（2）求f′（x），并令f′（x）=0，得x=

1

3

，或1，并能说明x=1时，函数f（x）取得极大值-2＜0，且e-10＜

1

3

，f（e^-10）＞0，所以函数f（x）在（e^-10，+∞）只有一个零点，所以方程f（x）=0只有一个实根，所以f（x）=0在（e^-10，+∞）上根的个数为1．

解答： 解：（1）∵f（x）是一个单调递减函数，∴f′（x）=

a

x

-3-

1

x2

≤0在（0，+∞）上恒成立；
即a≤3x+

1

x

，∵3x+

1

x

≥2

3

，当x=

3

3

时取“=“；
∴a≤2

3

∴a的取值范围是（-∞，2

3

]；
（2）f（x）=4lnx-3x+

1

x

，f′（x）=

4

x

-3-

1

x2

=

-3x2+4x-1

x2

，令f′（x）=0得：x=

1

3

，或1，且e-10＜

1

3

；
∴x∈（e^-10，

1

3

）时，f′（x）＜0，x∈（

1

3

，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
∴x=1时，函数f（x）取得极大值-2＜0，且f（e^-10）=e¹⁰-3e^-10-40＞0
∴在（e^-10，+∞）上函数f（x）只有一个零点，即方程f（x）=0只有一个实数根；
∴方程f（x）=0在（e^-10，+∞）上根的个数为1．

点评：考查函数的单调性和导数符号的关系，极值的概念，注意说明方程f（x）=0在（e^-10，+∞）上只有一个实根的方法．