Question

求函数的值域：y=

1-sinx

2-cosx

．

Answer 1

分析：本题给出的表达式

1-sinx

2-cosx

，恰好符合已知两点（x₁，y₁），（x₂，y₂）求斜率的公式：k=

y2-y1

x2-x′

解答：解：（法一）方程法：原函数可化为：sinx-ycosx=1-2y，
∴

1+y2

sin(x-φ)=1-2y（其中cosφ=

1

1+y2

，sinφ=

y

1+y2

），
∴sin(x-φ)=

1-2y

1+y2

∈[-1，1]，∴|1-2y|≤

1+y2

，
两端同时平方得：3y²-4y≤0，∴0≤y≤

4

3

，
故原函数的值域为[0，

4

3

]．
（法二）数形结合法：

1-sinx

2-cosx

可看作求点（2，1）与圆x²+y²=1上的点（sinx，cosx）的连线的斜率的范围，解略．

点评：若已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB所在直线的斜率k=

y2- y1

x2 -x1

，数形结合思想有时候解决问题很有效．
另外，本题完全可以向解法一那样，利用三角换元得出y的取值范围．