Question

如图，在三棱锥中，底面，，,,点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）见解析    （Ⅱ）        （Ⅲ）存在，理由见解析

本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小.
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.