Question

已知函数．
（1）求；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（3）观察已知函数可发现F（x）+F（1-x）=3，从而代入利用倒序相加可求
（2）由已知可得，求倒整理可构造，即{}是等差数列，从而可求
（3）用放缩法证明．由（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1），即，从而有，从而可证
解答：解：（1）因为
所以设S=①
S=②
①+②得：=3×2008=6024，
所以S=3012．
（2）由a_n+1=F（a_n）两边同减去1，得，
所以，
所以，是以2为公差以为首项的等差数列，
所以．
（3）用放缩法证明．
∵（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1），∴，
∴，
则，
所以，．
点评：本题（1）主要考查了利用倒序求，这也是等差数列的求和公式的推导方法，其关键是F（x）+F（1-x）=3，（2）主要考查了利用构造等差数列求解通项公式．