题目内容
已知
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)，且
与
之间满足关系：|k
+
|=
|
-k
|，其中k＞0，则
•
取得最小值时，
与
夹角θ的大小为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：利用数量积的性质和向量的夹角公式、基本不等式即可得出．
解答：解：∵
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)．
∴|
|=
=1，|
|=
=1．
又|k
+
|=
|
-k
|，（k＞0）．
∴k2
2+
2+2k
•
=3(
2+k2
2-2k
•
)，
∴k2+1+2k
•
=3+3k2-6k
•
，
化为
•
=
≥
=
，当且仅当k=1时取等号．
此时cos＜
，
＞=
=
=
，
∴＜
，
＞=
．
即
•
取得最小值时，
与
夹角θ的大小为
．
故选：C．
| a |
| b |
∴|
| a |
| cos2α+sin2α |
| b |
| cos2β+sin2β |
又|k
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
∴k2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴k2+1+2k
| a |
| b |
| a |
| b |
化为
| a |
| b |
| k2+1 |
| 4k |
| 2k |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
此时cos＜
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||
| 1×1 |
| 1 |
| 2 |
∴＜
| a |
| b |
| π |
| 3 |
即
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
故选：C．
点评：本题考查了数量积的性质和向量的夹角公式、基本不等式，属于基础题．
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