题目内容
（2008•静安区一模）（文）已知
=(cosα，3sinα)，
=(3cosβ，sinβ)，(0＜β＜α＜
)是平面上的两个向量．
（1）试用α、β表示
•
；
（2）若
•
=
，且cosβ=
，求α的值（结果用反三角函数值表示）
| a |
| b |
| π |
| 2 |
（1）试用α、β表示
| a |
| b |
（2）若
| a |
| b |
| 36 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
分析：（1）应用向量的坐标运算公式即可用α、β表示
•
；
（2）由
•
=
cos(α-β)=
，且cosβ=
(0＜β＜α＜
)，又可求得sinβ=
，sin(α-β)=
，α=（α-β）+β，（解法一）用两角和的余弦公式可求得cosα=
，α=arccos
（解法二）用两角和的正弦公式可求得sinα=
，α=arcsin
即可．
| a |
| b |
（2）由
| a |
| b |
| 36 |
| 13 |
| 12 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 33 |
| 65 |
| 33 |
| 65 |
（解法二）用两角和的正弦公式可求得sinα=
| 56 |
| 65 |
| 56 |
| 65 |
解答：（文）解：（1）
•
=3cosαcosβ+3sinαsinβ=3cos(α-β)；
（2）∵
•
=
，∴cos(α-β)=
，
又cosβ=
，0＜β＜α＜
，∴sinβ=
，sin(α-β)=
，
（解法1）cosα=cos[(α-β)+β]=
，∴α=arccos
（解法2）sinα=sin[(α-β)+β]=
，∴α=arcsin
| a |
| b |
（2）∵
| a |
| b |
| 36 |
| 13 |
| 12 |
| 13 |
又cosβ=
| 4 |
| 5 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
（解法1）cosα=cos[(α-β)+β]=
| 33 |
| 65 |
| 33 |
| 65 |
（解法2）sinα=sin[(α-β)+β]=
| 56 |
| 65 |
| 56 |
| 65 |
点评：本题考查三角函数间的基本关系，着重考查三角函数中的和与差的正余弦及凑角变换，属于中档题．
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