Question

3．已知曲线C是与两个定点A（1，0），B（4，0）的距离比为$\frac{1}{2}$的动点的轨迹
（1）求曲线C的方程；
（2）求曲线C上的动点到直线l：x-y+3=0的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，设此曲线上的任意一点P（x，y），则|AP|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，|BP|=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，代入化简即可；
（2）由题意画出图形，数形结合得答案．

解答 解：（1）设此曲线上的任意一点P（x，y），则|AP|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，|BP|=$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，
由题意可得，$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{1}{2}$，
则$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，整理得x²+y²=4，
∴所求曲线C的方程为x²+y²=4；
（2）如图，

圆心O到直线x-y+3=0的距离|OA|=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴曲线C上的动点到直线l：x-y+3=0的距离的最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}+2$．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，训练了点到直线的距离公式的应用，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．