Question

15．如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是梯形，BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，BE∥AF，BE=$\frac{1}{2}$AF，H是FD的中点．
（1）证明：CH∥平面ABEF；
（2）判断C、D、E、F四点是否共面，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取FA中点G，连HG，BG，由已知得四边形BCHG是平行四边形，由此能证明CH∥平面ABEF．
（Ⅱ）由已知推导出EF∥BG，EF∥CH，由此结合已知条件能证明C，D，F，E四点共面．

解答 （Ⅰ）证明：取FA中点G，连HG，BG，
∵FG=GA，FH=HD∴GH$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}AD$
又BC$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}AD$，故GH$\underline{\underline{∥}}$BC
∴四边形BCHG是平行四边形．∴CH∥BG
又BG?平面ABEF，CH?平面ABEF，
∴CH∥平面ABEF，（6分）
（Ⅱ）解：C，D，F，E四点共面．理由如下：（8分）
由BE$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}AF$，G是FA的中点知，BE$\underline{\underline{∥}}$GF，∴EF∥BG
由（Ⅰ）知BG∥CH，∴EF∥CH，
故EC，FH共面．又点D在直线FH上
∴C，D，F，E四点共面．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查四点共面的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．