Question

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设?MGA=a（

π

3

≤α≤

2π

3

）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）表示为a的函数．
（2）求y=

1

S12

+

1

S22

的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）根据G是边长为1的正三角形ABC的中心，可求得AG，进而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面积公式求得S₁，同理可求得S₂
（2）把（1）中求得S₁与S₂代入求得函数的解析式，进而根据α的范围和余切函数的单调性求得函数的最大和最小值．

解答：解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
∠MAG=

π

6

，
由正弦定理

GM

sin π 6

=

GA

sin(π-α- π 6 )

得GM=

3

6sin(α+ π 6 )

则S₁=

1

2

GM•GA•sina=

sinα

12sin(α+ π 6 )

同理可求得S₂=

sinα

12sin(α- π 6 )

（2）y=

1

y 2 1

+

1

y 2 2

=

144

sin2α

〔sin2(α+

π

6

)+sin2(α-

π

6

)〕
=72（3+cot²a）
因为

π

3

≤α≤

2π

3

，
所以当a=

π

3

或a=

2π

3

时，y取得最大值y_max=240
当a=

π

2

时，y取得最小值y_min=216

点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．