题目内容

20、如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点.
求证:(1)FD∥平面ABC;
(2)平面EAB⊥平面EDB.
分析:(1)取AB中点G,连CG,FG,由已知中F是BE的中点,结合三角形中位线的性质,可得FG平行且等于AE的一半,又由EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=2a,DC=a,可得四边形DEGC是平行四边形,进而得到DF∥CG,由线面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC;
(2)由已知中EA垂直于平面ABC,则EA⊥CG,又由△ABC是正三角形,可得CG⊥AB,由线面垂直的判定定理,可得CG⊥平面EAB,进而DF⊥平面EAB,结合面面垂直的判定定理即可得到平面EAB⊥平面EDB.
解答:证明:(1)取AB中点G,连CG,FG
四边形DEGC是平行四边形,
得到DF∥CG
DF?平面ABC,CG?平面ABC
所以FD∥平面ABC;
(2)可以证明CG⊥平面EAB,
又DF∥CG,所以DF⊥平面EAB
DF?平面EBD,所以,平面EAB⊥平面EDB
点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定,其中熟练掌握线面平行及线面垂直、面面垂直的判定方法及证明步骤是解答本题的关键.
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