题目内容

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC ="∠BAD" =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，且EF∥BC。设AE =，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．

（1）当=2时，求证：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

（3）当取得最大值时，求二面角D-BF-E的余弦值．

 

【答案】

（1）建立空间坐标系E-xyz, B（2，0，0）D（0，2，2）E（0，0，0）G（2，2，0）,

（－2，2，2）（2，2，0）＝0∴（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）方法一：

∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．

 

，又为BC的中点，BC=4，

．则A（0，0，2），B（2，0，0），

G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，

∴．……4分

方法二：

作DH⊥EF于H，连BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

为平行四边形，且，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分

（或者直接利用三垂线定理得出结果）

（2）∵AD∥面BFC，所以 =VA-BFC＝

，即时有最大值为． ………8分

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2， B（2，0，0），

D（0，2，2），F（0，3，0），∴………9分

（－2，2，2），

则 ，即，

取，∴

，面BCF一个法向量为，

则cos<>=，………14分

考点：两线垂直的判定及求解二面角大小

点评：本题用向量方法求解比较简单

 

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（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
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（2）当x=2时，求异面直线AB与DF所成角θ的余弦值．
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（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．
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