Question

设f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），f（x）图象的一条对称轴是x=

π

8

．
（1）求φ的值；
（2）证明：对任意实数c，直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．

Answer 1

分析：（1）依题意，sin（

π

4

+φ）=±1，可求得φ=kπ+

π

4

（k∈Z），而-π＜φ＜0，从而可求得φ的值；
（2）由f（x）=sin（2x-

3

4

π）可求得f′（x）=2cos（2x-

3

4

π）≤2，即曲线的切线的斜率不大于2，与直线5x-2y+c=0的斜率比较即可使结论得证．

解答：解：（1）由对称轴是x=

π

8

，
得sin（

π

4

+φ）=±1，（2分）
即

π

4

+φ=kπ+

π

2

（k∈Z），（3分）
所以φ=kπ+

π

4

（k∈Z），（4分）
而-π＜φ＜0，所以φ=-

3

4

π．（6分）
（2）因为f（x）=sin（2x-

3

4

π）．
所以f′（x）=2cos（2x-

3

4

π）≤2，（8分）
即曲线的切线的斜率不大于2，
而直线5x-2y+c=0的斜率k=

5

2

＞2，（10分）
所以直线5x-2y+c=0不是函数y=f（x）的切线．（12分）

点评：本题考查正弦函数的对称性及最值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查推理证明的能力，属于中档题．