Question

（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4

3

，则∠EFD=

30°

，线段FD的长为

4

3

．

Answer 1

分析：连接OD，首先根据切割线定理计算出PE的长，再进一步计算出OP的长和圆的半径的长；从而在直角三角形OPD中，根据边之间的关系求得角的度数，再根据圆周角定理进行计算要求的角．

解答：解：连接DO，
∵PD为切线，PEF为割线，
∴由切割线定理得到PD²=PE•PF；

∵PD=4

3

，PF=12，
∴PE=

PD2

PF

=4，
∴EF=PF-PE=8，EO=4；
∵PD为切线，D为切点，
∴OD⊥PD；
∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，
∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，
∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，
∴∠EFD=

1

2

∠DOP=30°．
在三角形DOF中FD=2

DO

cos30°

=4

3

故答案为：30°；4

3

点评：本题主要考查圆的切线的性质定理，考查与圆有关的比例线段，考查直角三角形中有关的三角函数的知识，本题解题的关键是熟练应用平面几何中有关的定理定义和性质，本题属于基础题．