Question

已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示，关于该四棱锥的下列结论中：
①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；
②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
③四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面；
④四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形．
所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：根据题意，画出该四棱锥的直观图，根据直观图得到各侧棱之间的垂直关系，然后对各个命题分别进行讨论，从而选出正确的答案．

解答： 解：由题意，画出该四棱锥的直观图如图所示，
PO⊥平面ABCD，
则PO⊥AB，PO⊥CD，
又AB⊥BC，
CD⊥BC，
∴AB⊥平面PBC，CD⊥平面PBC，
∴平面ABC⊥平面PBC，
平面PCD⊥平面PBC，∴①正确；
②由①知，侧面ABP和PCD为直角三角形，
当BP⊥PC时，△PBC为直角三角形，∴侧面可能存在三个直角三角形，∴②正确；
③若四个侧面互相垂直，则由四个侧面围成的几何体为柱体，不可能是锥体，∴③正确；
④若PB=PC=AB=CD=2，PA=PD=2

2

时，则△PBC、△BAP、△CDP、△PAD为等腰三角形，∴④错误．
综上，以上正确的是①②③．
故答案为：①②③．

点评：点评：本题考查了三视图的知识的应用问题，也考查了线面垂直和面面垂直的判断问题，考查一定的逻辑推理能力，是中档题目．