Question

已知函数

(1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若定义在区间D上的函数y＝f(x)对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式成立，则称函数y＝f(x)为区间D上的“凹函数”．试判断当a≤0时，f(x)是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由，得　　2分 　　欲使函数为[1，＋∞)上单调增函数，则在[1，＋∞)上恒成立，即不等式在[1，＋∞)上恒成立．也即在[1，＋∞)上恒成立．　　4分 　　令，上述问题等价于，而为在[1，＋∞)上的减函数，则，于是a≥0为所求．　　6分 　　(Ⅱ)证明：由得 　　 　　　　7分 　　　　8分 　　而①　　10分 　　又，∴②　　11分 　　∵∴， 　　∵∴③　　13分 　　由①、②、③得 　　即， 　　从而由凹函数的定义可知函数为凹函数．　　14分