Question

已知函数

(1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若定义在区间D上的函数y＝f(x)对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式成立，则称函数y＝f(x)为区间D上的“凹函数”．

试证当a≤0时，f(x)为“凹函数”．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由，得　2分 　　函数为上单调函数．若函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．　4分 　　令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求．　6分 　　(Ⅱ)证明：由得 　　 　　　7分 　　　8分 　　而　　①　10分 　　又，∴　　②　11分 　　∵ 　　∴， 　　∵ 　　∴　　③　13分 　　由①、②、③得 　　即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数．　14分