Question

6．设点A（1，2），非零向量$\overrightarrow a=（{m，n}）$，若对于直线3x+y-4=0上任意一点P，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow a$恒为定值，则$\frac{m}{n}$=3．

Answer 1

分析 设点P（x，y），由点P为直线上的任意一点，表示出向量$\overrightarrow{AP}$，由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{a}$恒为定值，求出m、n的关系，再计算$\frac{m}{n}$．

解答 解：设点P（x，y），
∵点P为直线3x+y-4=0上的任意一点，
∴y=4-3x，
∴$\overrightarrow{AP}$=（x-1，2-3x）；
又非零向量$\overrightarrow{a}$=（m，n），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{a}$=m（x-1）+n（2-3x）=（m-3n）x+（2n-m），且恒为定值，
∴m-3n=0，即m=3n；
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{3n}{n}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是中档题．