Question

20．如图，P是△ABC所在平面外的一点，A₁，B₁，C₁依次是△PBC，△PAC，△PAB的重心，AR是平面ABC内的任意一条直线，求证：AR∥平面A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 由A₁，B₁，C₁分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，和三角形重心所具有的特性可证A₁C₁∥平面ABC与A₁B₁∥平面ABC，可证平面ABC∥平面A₁B₁C₁，即可得证．

解答 证明：如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，O，
连接PM，PN，PO，MN，NO，OM，
∵A₁，B₁，C₁分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，
∴A₁，B₁，C₁分别在PN，PO，PM上，
且PC₁：PM=PA：PN=PB：PO=2：3．
在△PMN中，$\frac{P{C}_{1}}{PM}=\frac{P{A}_{1}}{PN}=\frac{2}{3}$，故A₁C₁∥MN，
又M，N为△ABC的边AB，BC的中点，MN∥AC，
∴A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面ABC，
同理A₁B₁∥平面ABC，
∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
∴AR是平面ABC内的任意一条直线，AR∥平面A₁B₁C₁．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行，属于中档题．