Question

【题目】已知

（1）求的轨迹

（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，设直线的斜率分别是，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下， 是否是定值，请说明理由，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)利用几何性质取得该轨迹方程为椭圆，求得 即可得出该轨迹方程；也可以利用平面向量的结论结合坐标求解轨迹方程；

(2)利用题意联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理证得是定值即可.

试题解析：

（1）方法一：

如图因为所以四边形是平行四边形

所以，

由得

所以的轨迹是以为焦点的椭圆易知

所以方程为

方法二：

设由得

再得

移项

平方化简得：

（从发现是椭圆方程也可以直接得 ，分档批阅老师自己把握）

（2）设，过的斜率为的直线为，由直线与圆相切可得

即：

由已知可知是方程（关于）的两个根，

所以由韦达定理：

两式相除：

又因为所以

代入上式可得： 即： 为一个定值.