Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为且经过点．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率为，可得a=2c，从而b²=a²-c²=3c²，故椭圆的标准方程可设为：，将点代入，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设M（x，y）则半径，圆心到y轴的距离d=|x|，根据圆M与y轴有两个交点及M在椭圆上，即可确定点M横坐标的取值范围；
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16，使得圆N与圆M相切，圆心N为椭圆的左焦点F₁，利用椭圆的定义，可知两圆相内切．
解答：解：（1）∵，∴a=2c，
∴b²=a²-c²=3c²
∴椭圆的标准方程可设为：
又∵过点，∴
∴c=1
∴椭圆的标准方程为：
（2）设M（x，y）则半径，圆心到y轴的距离d=|x|
若圆M与y轴有两个交点，则有r＞d，即有，化简得，
∵M在椭圆上，∴，代入上不等式得解得：，
∵-2≤x≤2，
∴
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16，使得圆N与圆M相切，圆心N为椭圆的左焦点F₁，
由椭圆的定义知，|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴|MF₁|=4-|MF₂|
∴两圆相内切．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查圆与圆的位置关系，考查圆与椭圆知识的综合，属于中档题．