Question

函数f（x）=4^x-2^x+1+3的定义域为x∈[-

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2

，

1

2

]．
（Ⅰ）设t=2^x，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，可先判断函数t=2^x，x∈[-

1

2

，

1

2

]单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；
（II）由于函数f（x）=4^x-2^x+1+3是一个复合函数，可由t=2^x，将此复合函数转化为二次函数g（t）=t²-2t+3，此时定义域为t∈[

2

2

，

2

]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵t=2^x在x∈[-

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2

，

1

2

]上单调递增
∴t∈[

2

2

，

2

]…（4分）
（Ⅱ） 函数可化为：f（x）=g（t）=t²-2t+3 
∵g（t）在[

2

2

，1]上单减，在[1，

2

]上单增…（6分）
比较得g（

2

2

）＜g（

2

），
∴f（x）_min=g（1）=2，f（x）_max=g（

2

）=5-2

2

…（11分）
∴函数的值域为[2，5-2

2

]…（12分）

点评：本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用