Question

若A={x∈R|-1≤log

1

3

x≤0}，函数f（x）=4^x-3m-2^x+1+5（其中x∈A，m∈R）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 log

1

3

3≤log

1

3

x≤log

1

3

1，由此求得x的范围，即可求得函数的定义域．
（2）令 t=2^x，（2≤t≤8），则y=t²-6mt+5=（t-3m）²-9m²+5，利用二次函数的性质分类讨论，求得函数f（x）的最小值．

解答：解：（1）在A中由|-1≤log

1

3

x≤0 得 log

1

3

3≤log

1

3

x≤log

1

3

1，…（2分）
∴1≤x≤3，…（4分）
即函数f（x）的定义域为[1，3]．…（5分）
（2）函数 y=f（x）=4^x-3m-2^x+1+5，
令 t=2^x，（2≤t≤8），则y=t²-6mt+5=（t-3m）²-9m²+5，…（8分）
若 3m≤2，即 m≤

2

3

，则 y_min=f（2）=9-12m．…（9分）
若 2＜3m＜8，即

2

3

＜m＜

8

3

，则 y_min=f（3m）=5-9m²．…（10分）
若 3m≥8，即 m≥

8

3

，y_min=f（8）=64-48m+5=69-48m，…（11分）
综上所述，f_min（x）=

9-12m ， m≤ 2 3 5-9m2 ，  2 3 ＜m＜ 8 3 69-48m ， m≥ 8 3

．…（13分）

点评：本题主要考查求函数的定义域和值域，对数不等式的解法，二次函数的性质，属于基础题．