Question

【题目】如图，直三棱柱 中， , , 是棱上的动点.

证明： ；

若平面分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点的位置，并求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）30°

【解析】试题分析：（1）由平面得，再由,得平面,

所以；（2）根据割补法求，根据体积为三棱柱一半，求得为中点；）取的中点,根据垂直关系可得是二面角的平面角.最后解三角形可得二面角的大小

试题解析：解：（I）平面,

又,即

平面,

又平面， ；

(II) ,

依题意,

为中点；

（法1）取的中点,过点作于点，连接

,面面面

,得点与点重合，且是二面角的平面角.

设，则,得二面角的大小为30°.

（法2）以为空间坐标原点， 为轴正向、为轴正向、为轴正向，建立空间直角坐标系，设的长为 1，则.

作中点，连结，则，从而平面，平面的一个法向量

设平面的一个法向量为，则

，令，得，

故二面角为30°.