题目内容

已知向量
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx，cosx)，若f（x）=
a
•
b
，
求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期及f(
3π
8
)的值；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间．
分析：利用向量的数量积以及二倍角的三角函数结合两角和的正弦函数，化简函数的表达式，
（Ⅰ）利用正弦函数的周期公式直接求解f（x）的最小正周期，直接求解f(
3π
8
)的值；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间求解函数f（x）的单调增区间．
解答：解：向量
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx，cosx)，
f（x）=
a
•
b
=cos2x+sinxcosx
=
1
2
（1+cos2x）+
1
2
sin2x
=
2
2
sin（2x+
π
4
）+
1
2
．
（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T=
2π
2
=π，
f(
3π
8
)=
2
2
sin（2×
3π
8
+
π
4
）+
1
2
=
1
2
．
（Ⅱ）因为2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，
-
3π
8
+kπ≤x≤kπ+
π
8
，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为：[-
3π
8
+kπ，kπ+
π
8
]，k∈Z．
点评：本题通过向量的数量积，三角函数的二倍角、两角和的三角函数化简函数的表达式，考查函数的基本性质，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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