Question

已知{a_n}是首项为a₁,公比q(q≠1)为正数的等比数列,其前n项和为S_n,且有5S₂＝4S₄,设b_n＝q+S_n.

(1)求q的值.

(2)数列{b_n}能否是等比数列?若是,请求出a₁的值;若不是,请说明理由.

Answer 1

解:(1)由题意,知5S₂＝4S₄,

,

∴5(1-q²)＝4(1-q⁴),得.

又q＞0,∴.

(2)是.理由如下：方法一:∵,

于是b_n＝q+S_n＝+2a₁-a₁()^n-1,

若b_n是等比数列,则,

即,

此时,b_n＝()ⁿ⁺¹,

∵,

∴数列{b_n}是等比数列.

∴存在实数,使数列{b_n}为等比数列.

方法二:由于b_n＝+2a₁-a₁()^n-1,

∴,,.

若数列{b_n}为等比数列,则b₂²＝b₁·b₃,

即,

整理,得4a₁²+a₁＝0,解得或a₁＝0(舍去),

此时b_n＝()ⁿ⁺¹.

故存在实数,使数列{b_n}为等比数列.