Question

【题目】某校为提高学生身体素质，决定对毕业班的学生进行身体素质测试，每个同学共有4次测试机会，若某次测试合格就不用进行后面的测试，已知某同学每次参加测试合格的概率组成一个以 为公差的等差数列，若他参加第一次测试就通过的概率不足 ，恰好参加两次测试通过的概率为 ．
（Ⅰ）求该同学第一次参加测试就能通过的概率；
（Ⅱ）求该同学参加测试的次数的分布列和期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设该同学四次测试合格的概率依次为： a，a+ ，a+ ，a+ （a≤ ），
则（1﹣a）（a+ ）= ，即a2﹣ a+ =0，
解得a= 或a= （ ＞ 舍去），
所以小李第一次参加测试就合格的概率为 ；
（Ⅱ）因为P（ξ=1）= ，P（ξ=2）= × = ，
P（ξ=3）= × × = ，
P（ξ=4）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）= ，
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P

所以ξ的数学期望为Eξ=1× +2× +3× +4× =
【解析】（Ⅰ）设出该同学第一次测试合格的概率为a，根据题意列方程求出a的值；（Ⅱ）该同学参加测试的次数ξ的可能取值是1、2、3、4，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望即可．
【考点精析】通过灵活运用离散型随机变量及其分布列，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列即可以解答此题．