Question

【题目】设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣ |（x∈R，实数a＜0）．
（Ⅰ）若f（0）＞ ，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：f（x）≥ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ ＞ ， 即a2+ a+1＞0，
解得a＜﹣2或﹣ ＜a＜0；
（Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣ |= ，
当x≥﹣ 时，f（x）≥﹣ ﹣ ；
当 ＜x＜﹣ 时，f（x）＞﹣ ﹣ ；
当x≤ 时，f（x）≥﹣a﹣ ，
∴f（x）min=﹣ ﹣ ≥2 = ，
当且仅当﹣ =﹣ 即a=﹣ 时取等号，
∴f（x）≥ ．
【解析】（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可（Ⅱ）通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．