Question

5．已知函数f（x）=x³+alnx
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（Ⅱ）设出切点（m，n），求得切线的斜率和方程，代入点（1，1）可得m，n的值，即可得到所求切线的方程．

解答 解：（I）由函数f（x）=x³+lnx，f（1）=1，
$f'（x）=3{x^2}+\frac{1}{x}$，f'（1）=4，
所以在（1，f（1））处的切线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0；        
（ II）函数f（x）=x³，f'（x）=3x²，
设过（1，1）的直线与曲线相切于（m，n），
则切线方程为y-1=3m²（x-1），
所以$\left\{{\begin{array}{l}{n-1=3{m^2}（m-1）}\\{n={m^3}}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=-\frac{1}{8}}\end{array}}\right.$，
所求切线方程为3x-y-2=0，3x-4y+1=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，考查运算能力，属于基础题和易错题．