题目内容

已知抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，
（1）求p及m的值．
（2）过焦点F的直线L交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，求直线L的方程．
（1）由题意知|FQ|=4+
p
2
=5，∴p=2．∵m2=2×2×4，∴m=±4
（2）由题意知直线L的斜率存在，设为k，则直线L的方程为：y=k（x-1），代入抛物线方程：y2=4x，得
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=
2k2+4
k2
，x1x2=1；
又∵|AB|=
1+k2
|x1-x2|=8，|AB|=
1+12
(x1+x2)2-4x1x2
=8∴
1
k4
+
1
k2
-2=0∴k2=1∴k=±1；
∴所求直线方程为：x-y-1=0或x+y-1=0．
练习册系列答案
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已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．
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已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．
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kMA+kMBkMF
是一个定值，并求出这个值．（其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）
已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．
（2009•聊城一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点M（2p，0）的直线与抛物线相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．
已知抛物线y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是抛物线上的两点．求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点．

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