Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线B₁B和平面CDB₁所成角的正切值为（　　）

• A、2

  2

• B、

  3 2

  2

• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：以D为坐标原点，以CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC₁=2，我们易求出几何体中各顶点的坐标，及而求出直线B₁B的方向向量和平面CDB₁的法向量，代入向量夹角公式，求出直线B₁B和平面CDB₁所成角的正弦值，再由同有三角函数关系，即可求出直线B₁B和平面CDB₁所成角的正切值．

解答：解：以D为坐标原点，以CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC₁=2
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B₁（0，2，2）
则

B1B

=（0，0，-2），

CD

=（1，1，0），

CB1

=（0，2，2）
设

n

=（x，y，z）为平面CDB₁的一个法向量
则

CD • n =0 CB1 • n =0

，即

x+y=0 2y+2z=0

令x=1则

n

=（1，-1，1）
则cos＜

n

，

B1B

＞=

n • B1B

| n |•| B1B |

=-

3

3

设直线B₁B和平面CDB₁所成角为θ
则sinθ=

3

3

，cosθ=

6

3

则tanθ=

2

2

故选D

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立适当的空间直角坐标系，将空间线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．