Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*满足2S_n=a_n（a_n+1），且a_n≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an+1，n为奇数， 3×2an-1+1，n为偶数

，求数列{c_n} 的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析：（I）利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1及其等差数列的通项公式即可得出；
（II）分组利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵2S_n=a_n（a_n+1），
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
以上两式相减得2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，
即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又当n=1时，由2S₁=a₁（a₁+1）及a₁≠0得a₁=1，
∵a_n≠0，∴当n≥2时，有a_n-a_n-1=1或a_n+a_n-1=0．
①当a_n-a_n-1=1时，数列{ a_n }是等差数列，其通项公式为a_n=n（n∈N^*）．
②当a_n+a_n-1=0时，an=(-1)n-1.（n∈N^*）．
（Ⅱ）①当a_n=n（n∈N^*）．
得cn=

n+1，n为奇数 3×2n-1+1，n为偶数

．
∴T_2n=（2+4+…+2n）+3（2¹+2³+…+2^2n-1）+n=n（n+1）+

3×2×(22n-1)

4-1

+n=n²+2n-2+2²ⁿ⁺¹．
②当an=(-1)n时，得到cn=

-1，n为奇数 7，n为偶数

．
∴T_2n=n（-1+7）=6n．

点评：熟练掌握“利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1求a_n”的方法、等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式是解题的关键，考查了分类讨论的思想方法．