题目内容

7．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以矩形ABCD的中心为原点，过矩形ABCD的中心平行于BC的直线为x轴，建立直角坐标系，
（1）求到直线AD、BC的距离之积为1的动点P的轨迹；
（2）若动点P分别到线段AB、CD中点M、N的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、顶点、范围）；
（3）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到曲线C的距离．若动点P到线段AB的距离与射线CD的距离之积为4，求动点P的轨迹方程，并作出动点P的大致轨迹．

分析 （1）利用到直线AD、BC的距离之积为1，建立方程，即可求出动点P的轨迹；
（2）$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=4，化简可得结论；
（3）同时从几何和代数角度进行分析，即可得出结论．

解答 解：（1）设P（x，y），则|y-1||y+1|=1…2分
化简得y=±$\sqrt{2}$或y=0．
故动点P的轨迹为三条平行线；…4分
（2）$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=4，
化简得 $（\sqrt{{x}^{2}+1}-2）^{2}+{y}^{2}=1$
对称性：关于原点、x、y轴对称；…6分
顶点：（2$\sqrt{2}$，0），（-2$\sqrt{2}$，0），（0，0）；…8分
范围：|x|≤2$\sqrt{2}$，|y|≤1…10分
（3）同时从几何和代数角度进行分析
当y＜-1时，y=-1-$\sqrt{4\sqrt{{x}^{2}+1}-{x}^{2}-4}$，…12分
当-1≤y≤1时，x=±2$\sqrt{2}$或x=0，…14分
当y＞1时，y=1+$\sqrt{\frac{16}{（x-2）^{2}}-（x+2）^{2}}$，…16分
作轨迹大致如图．分三个区域给分：
①在直线y=-1的下方：两段曲线；
②在两直线y=-1，y=1之间：三条平行线；
③在直线y=1的上方：三条曲线．…18分．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，确定轨迹方程是关键．

练习册系列答案
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18．已知函数f（x）=-1+5（x-1）-C${\;}_{5}^{2}$（x-1）2+C${\;}_{5}^{3}$（x-1）3-5（x-1）4+（x-1）5，若f（a）=32，则实数a的值为4．
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19．对于函数f（x）=x3cos3（x+$\frac{π}{6}$），下列说法正确的是（　　）
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C．f（x）是偶函数且在（0，$\frac{π}{6}$）上递增D．f（x）是偶函数且在（0，$\frac{π}{6}$）上递减
16．将函数y=sinx-$\sqrt{3}$cosx的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（　　）
A．$\frac{π}{6}$B．$\frac{π}{2}$C．$\frac{7π}{6}$D．$\frac{π}{3}$
17．已知：a?α，b?α，且a∥b，求证：a∥α

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