Question

如图，已知直角梯形A₁所在的平面垂直于平面B₁，C₁，D₁，AB₁?．
（1）在直线AB₁C上是否存在一点D₁E?，使得AB₁C平面∴？请证明你的结论；
（2）求平面D₁E与平面ACB₁所成的锐二面角B₁C²+B₁E²=4=CE²的余弦值．

Answer 1

分析：

解答：解：（1）线段B₁E⊥B₁C的中点就是满足条件的点CD⊥．（1分）
证明如下：
取B₁BCE的中点B₁E?连接B₁BCE，则CD⊥B₁E，∴B₁E⊥，（2分）
取DCB₁的中点B₁E?，连接D₁B₁E，
∵∴且⊥，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，
∴ED=MC=

1

2

AC．又∵ED∥AC，（3分）
∴ED∥FP且ED=FP，
四边形EFPD是平行四边形．（4分）
∴DP∥EF，
而EF?平面EAB，DP?平面EAB，
∴DP∥平面EAB．（6分）
（2）（法1）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．（8分）
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．（10分）
设AB=AC=AE=2a，则CD=

3

a，GC=2a，
∴GD=

GC2+CD2

=

7

a，
∴cosθ=cos∠DGC=

GC

GD

=

2 7

7

．（12分）

（法2）∵∠BAC=90°，平面EACD⊥平面ABC，
∴以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则z轴在平面EACD内（如图）
设AB=AC=AE=2a，由已知，得B（2a，0，0），E(0 ， a ， 

3

a)，D(0 ， 2a ， 

3

a)．
∴

EB

=(2a ， -a ， -

3

a)，

ED

=(0 ， a ， 0)，（8分）
设平面EBD的法向量为n=（x，y，z），
则n⊥

EB

且n⊥

ED

，
∴

n• EB =0  n• ED =0 .

∴

2ax-ay- 3 az=0  ay=0 .

解之得

x= 3 2 z  y=0 .

取z=2，得平面EBD的一个法向量为n=(

3

 ， 0 ， 2)．（10分）
又∵平面ABC的一个法向量为n'=（0，0，1）．cosθ=|cos＜n ， n′＞|=

3 ×0+0×0+2×1

( 3 )2+02+22 • 02+02+12

=

2 7

7

．（12分）
说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．

点评：