题目内容
如图，已知直角梯形ABCD的上底BC＝
，BC∥AD，BC＝
AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形.
(1)证明：AB⊥PB；
(2)求三棱锥A－PBD的体积.
(1)在直角梯形ABCD中，
因为AD＝2，BC＝，CD＝2，
所以AB＝
＝
.
因为BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以BC⊥平面PDC，因此在Rt△BCP中，PB＝
＝.
因为BC∥AD所以AD⊥平面PDC，
所以在Rt△PAD中，
PA＝
＝
＝2
.
所以在△PAB中，PA2＝AB2＋PB2，所以AB⊥PB.
(2)过P作PE⊥DC，△PCD为等边三角形，
∴E为DC中点，易得PE⊥平面ABCD，
且PE＝，所以VA－PBD＝VP－ABD＝
S△ABD·PE
＝×(·AD·DC)·
＝
×2×2×＝
.
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