Question

 在实数集R上定义运算：

 

（Ⅰ）求F(x)的解析式；

（Ⅱ）若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若a=－3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不

存在，说明理由.

Answer 1

 解析：（I）由题意，F(x)=f(x) (a－g(x))…

=e^x(a－e^－x－2x²)

=ae^x－1－2x²e^x.…

    （II）∵F′(x)=ae^x－2x²e^x－4xe^x=－e^x(2x²+4x－a)，      

    当x∈R时，F(x)在减函数，

∴F′(x)≤0对于x∈R恒成立，即

     －e^x(2x²+4x－a)≤0恒成立，          ∵e^x>0，

∴2x²+4x－a≥0恒成立，

∴△=16－8(－a) ≤0，

∴a≤－2.

（III）当a=－3时，F(x)= －3e^x－1－2x²e^x，

     设P(x₁，y₁)，Q（x₂，y₂）是F(x)曲线上的任意两点，

∵F′(x)= －e^x(2x²+4x+3)=－e^x[2(x+1)²+1]<0，

∴ F′(x₁)·F′(x₂)>0，

∴F′(x₁)·F′(x₂)= －1 不成立

∴F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.