题目内容
【题目】已知函数
，
，其中a为常数，e是自然对数的底数，
，曲线
在其与y轴的交点处的切线记作
，曲线
在其与x轴的交点处的切线记作
，且
.
（1）求
之间的距离；
（2）对于函数
和
的公共定义域中的任意实数
，称
的值为函数和在处的偏差.求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）求出
分别与
轴、
轴的交点坐标，求出函数的导数，根据两条切线平行求出参数
的值，即可求出切线方程，利用两平行线的距离公式求
间的距离.
（2）得到函数
和
的偏差为：
，
，利用导数分析
，证明
即可.
（1）函数
的图像与y轴的交点为
，函数的图像与x轴的交点为
，
而
，
，
∵
，∴
，得
，
又∵
，∴
.
∴
，
，
∴切线
过点
，斜率为
；切线
过点
，斜率为
，
，
，
∴两平行切线间的距离
（2）∵函数和的偏差为：，，
∴
，易得在上是增函数，方程
有且只有一个正实根，记为
，则
.
当
时，
；当
时，
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
∵
，
，∴
，
故
，
即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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