Question

在一个以AB为弦的弓形中，C为

AH

的中点，自A、B分别作弧AB的切线，交于D点，设x为弦AB所对的圆心角，求

lim

x→0

S△ABC

S△ABD

．

Answer 1

分析：解此题的关键是用x表示出S_△ABC和S_△ABD，由题意可利用关系S_△ABC=S_{四边形AOBC}-S_△AOB，S_△ABD=S_{四边形AOBD}-S_△AOB，分别表示出S_△ABC和S_△ABD，然后再化简

lim

x→0

S△ABC

S△ABD

，利用极限的性质进行求解．

解答：解：设

AH

所在圆圆心为O，则C、D、O都在AB的中垂线上，
∴∠AOD=∠BOD=

x

2

．设OA=r．
S_△ABC=S_{四边形AOBC}-S_△AOB=r²sin

x

2

-

1

2

r²sinx=r²sin

x

2

（1-cos

x

2

），
S_△ABD=S_{四边形AOBD}-S_△AOB=r²tan

x

2

-

1

2

r²sinx=r²

sin3 x 2

cos x 2

．
∴

lim

x→0

S△ABC

S△ABD

=

lim

x→0

r2sin x 2 (1-cos x 2 )

r2sin3 x 2 cos x 2

=

lim

x→0

cos x 2

1+cos x 2

=

1

2

．

点评：此题主要考查极限极其运算，解题的关键是求出S_△ABC和S_△ABD，关于x的表达式，此题是一道不错的题．