Question

设a是实数，f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）试确定a的值，使f（-x）+f（x）=0成立．
（2）求证：不论a为何实数，f（x）均为增函数．

Answer 1

分析：（1）根据f（-x）+f（x）=0，f（x）=a-

2

2x+1

，代入可构造关于a的方程，解方程可得a值，也可由f（-x）+f（x）=0得到f（x）为奇函数，再由f（0）=0求出a的值
（2）R任取两个值x₁，x₂（x₁＜x₂），结合指数函数的单调性及值域为（0，+∞），判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．

解答：解：（1）由题知，f（-x）+f（x）=2a-

2

2x+1

-

2

2-x+1

=0，
则有a=

1

2x+1

+

1

2-x+1

=

2x+2-x+2

2x+2-x+2

=1，
故a的值为1．          …（8分）
（或先说明f（x）为奇函数，再由f（0）=0求出a的值．）
证明：（2）由题知x∈R，在R任取两个值x₁，x₂（x₁＜x₂），则
f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

由x₁＜x₂且y=2^x为R上的增函数得2x1-2x2＜0，2x1+1＜0，2x2+1＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故不论a为何实数，f（x）均为增函数．…（16分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的定义，函数单调性的判断与证明，熟练掌握函数奇偶性与单调性的定义是解答的关键．