Question

设a是实数，f（x）=a-
（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；
（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）定义证明函数的单调性，（2）利用奇函数在0处有定义，则有f（0）=0，（3）根据反比例函数性质和不等式性质求函数的值域．
解答：解：（1）设x₁，x₂是R内任意两实数，且x₁＜x₂，
所以=，
因为x₁＜x₂，所以，
所以，，，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上为增函数．
（2）因为f（x）为R上的奇函数，
所以，
所以．
（3）由（2）知，f（x）=，
因为x∈R，所以2^x+1＞1，
所以，，
所以f（x）的值域为．
点评：本题考察函数奇偶性和单调性的综合，此题单调性用定义比用导数容易一些，（3）中的值域主要利用反比例函数模型结合不等式的性质求解．