Question

设数列的前项和为，已知(n∈N*).

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意n∈N*且n≥2，都有成立，求的最大值；

（Ⅲ）令，数列的前项和为，求证：当n∈N*且n≥2时，.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）的最大值为18（Ⅲ）证明略

解析:

（Ⅰ）由，得(n≥2).

两式相减，得，即(n≥2).                      （1分）

于是，所以数列是公差为1的等差数列.                        （2分）

又，所以.                                                  （3分）

所以，故.                                 （4分）

（Ⅱ）因为，则.       （5分）

令，则

.

所以

.

即，所以数列为递增数列.                                （7分）

所以当n≥2时，的最小值为.

据题意，，即.又为整数，故的最大值为18.                  （8分）

（Ⅲ）因为，则当n≥2时，

.                                                （9分）

据柯西不等式，有.

于是.      （11分）

又据柯西不等式，有

.

故.                                                          （13分）