Question

已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离．

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若直线l与曲线C交于P、Q两点，且·＝0，又点E(－1，0)，求·的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依题知动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，1分 　　所以其标准方程为；4分 　　(Ⅱ)设，则 　　因为，所以 　　即(※)；6分 　　又设直线，代入抛物线的方程得， 　　所以，且；8分 　　也所以， 　　所以(※)式可化为，， 　　即，得，或；10分 　　此时恒成立． 　　又，且， 　　所以 　　由二次函数单调性可知，当时，有最小值；13分 　　二法：设，则 　　因为，所以 　　即(※)；6分 　　(i)若直线斜率不存在时，则， 　　代入(※)式得，又， 　　所以，即， 　　所以 　　；9分 　　(ii)当直线斜率存时，设直线， 　　代入抛物线方程消去得， 　　所以，且；10分 　　所以， 　　所以(※)式可化为 　　即，或；12分 　　又，知恒成立．() 　　，且， 　　所以 　　由二次函数单调性可知 　　综上(i)(ii)知，有最小值；13分