Question

已知平面内一动点P到F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线x=-1于M点，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知动点P到F（1，0）的距离与直线x=-1的距离相等，知动点P在以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线上，由此能求出轨迹C的方程．
（2）由题设知直线的斜线存在，设直线AB的方程为：y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由此能求出λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）由题意知动点P到F（1，0）的距离与直线x=-1的距离相等，
由抛物线定义知，动点P在以F（1，0）为焦点，
以直线x=-1为准线的抛物线上，
方程为y²=4x．
（2）由题设知直线的斜线存在，设直线AB的方程为：y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
由

MA

=λ1

AF

，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴x1+x2=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1，
由

MA

=λ1

AF

，得λ1=-1-

2

x2-1

，
同理λ2=-1-

2

x2-1

，
∴λ1+λ2=-2-2(

1

x1-1

+

1

x2-1

)=0．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查满足条件的实数和的值的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．