Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{{a}^{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，对任意x₁，x₂∈R，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [$\frac{2}{7}$，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{2}{7}$，1]

Answer 1

分析 由已知条件，根据减函数的定义便知函数f（x）在R上单调递减，从而根据一次函数、指数函数，及减函数的定义有$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{{a}^{1-1}≤（3a-1）•1+4a}\end{array}\right.$，从而解该不等式组即可得出实数a的取值范围．

解答 解：根据条件知，f（x）在R内是减函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{{a}^{1-1}≤（3a-1）•1+4a}\end{array}\right.$；
解得$\frac{2}{7}≤a＜\frac{1}{3}$；
∴实数a的取值范围为$[\frac{2}{7}，\frac{1}{3}）$．
故选：C．

点评 考查减函数的定义，一次函数、指数函数的单调性，以及分段函数单调性的判断．