Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁，∠BAA₁=∠CAA₁=60？，D，E分别为AB，A₁C中点．
（1）求证：DE∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：BB₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析：（1）连接AC₁，由题意可得：E为A₁C的中点，所以E为AC₁的中点．连接BC₁，可得DE∥BC₁，进而根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）设AA₁=a，则AB=2a．根据余弦定理可得：A₁B²=3a²，所以A₁B²+A₁A²=AB²，可得A₁A⊥A₁B．所以B₁B⊥A₁B，同理可得B₁B⊥A₁C，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．

解答：证明：（1）连接AC₁，因为AA₁C₁C为平行四边形，
所以AC₁与A₁C互相平分．
因为E为A₁C的中点，
所以E为AC₁的中点．
连接BC₁，因为D为AB的中点，
所以DE∥BC₁．
因为BC₁?平面BB₁C₁C，DE?平面BB₁C₁C，
所以DE∥平面BB₁C₁C．
（2）设AA₁=a，则AB=2a．
因为∠BAA₁=60°，
所以A₁B²=A₁A²+AB²-2A₁A•AB•cos∠A₁AB=3a²，
所以A₁B²+A₁A²=AB²，
所以A₁A⊥A₁B．
因为B₁B∥A₁A，所以B₁B⊥A₁B．
同理B₁B⊥A₁C，
因为A₁B∩A₁C=A₁，
所以BB₁⊥平面A₁BC．

点评：本题主要考查线面平行的判定定理与线面平行的判定定理，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征以及有关的定理．