Question

3．已知有下列四个命题，其中正确的有①③④
①若 p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；
②命题“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1＜3x”；
③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x²+y²=0”的否命题是真命题；
④若x，y，z∈R⁺则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$≥3．

Answer 1

分析 ①根据原命题与逆否命题为等价命题可判断；
②x²+1＞3x的反面是x²+1≤3x；
③根据逆命题与否命题为等价命题可以判断；
④根据多个正数的算术平均数不小于其几何平均数可以判断．

解答 解：①若 p是q的充分不必要条件，
∴p⇒q，其逆否命题也成立，
∴￢q⇒￢p，
∴￢p是￢q的必要不充分条件，故正确；
②命题“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，故错误；
③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x²+y²=0”的逆命题是
若x²+y²=0，则xy=0”显然成立，故否命题是真命题；
④根据多个正数的算术平均数不小于其几何平均数可知，
x，y，z∈R⁺则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$≥3，故正确．

点评 考查了四种命题的等价关系和命题的否定形式和多个正数的算术平均数不小于其几何平均数的概念．