Question

已知函数f（x）=x²+2ax+1，x∈[-2，5]
（1）当a=-2时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使得y=f（x）在区间[-2，5]上是单调函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）先对解析式平方，求出其对称轴，根据二次函数在闭区间上的最值求法即可得到结论；
（2）先对解析式平方，求出其对称轴，根据二次函数单调区间的分解点是对称轴不等式，再求出a的范围．
解答：解：（1）由题意得f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²；
当a=-2时，f（x）=（x-2）²-3；
∴函数在x=2时，函数有最小值-3；
在x=-2时，函数有最大值f（-2）=（-2-2）²-3=13．
（2）∵f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+1-a²；
∴对称轴x=-a，
∴函数f（x）在（-∞，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
∵函数y=f（x）在区间[-2，5]上是单调函数；
∴-a≥5或-a≤-2，即a≤-5或a≥2，
故当a≤-5或a≥2时，y=f（x）在区间[-2，5]上是单调函数．．
点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值以及二次函数的性质的应用，属于基础题目．