Question

（2008•襄阳模拟）将两块三角板按图甲方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙．
（1）求证：AD⊥平面BDC；
（2）求二面角D-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定定理证明AD⊥平面BDC．
（2）利用空间二面角的定义先求出∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，然后根据三角形的边角关系求出二面角的大小．

解答：解：（1）证：由已知DO⊥平面ABC，
∴平面ADB⊥平面ABC，
又∵∠B=∠D=90°，
∴BC⊥AB，
∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC=AB，
∴BC⊥平面ADB，
又∵AD?平面ADB，∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，
∴AD⊥平面BDC．
（2）由（1）得AD⊥BD，
由已知AC=2，得AB=

2

，AD=1，
∴BD=1，
∴O是AB的中点，DO=

2

2

，
过D作DE⊥AC于E，连结OE，则OE⊥AC．
∴∠DEO是二面角D-AC-B的平面角，
且DE=

3

2

，
∴sin∠DEO=

DO

DE

=

6

3

，
∴∠DEO=arcsin

6

3

．
即二面角D-AC-B的大小为arcsin

6

3

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定，以及空间二面角的求法，要求熟练掌握相应的判定定理和二面角的求法．