Question

（2008•襄阳模拟）已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx（b、c为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求b，c的值；
（2）若f（x）在（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在（x₁，x₂）上单调递减，又满足x₂-x₁＞1．求证：b²＞2（b+2c）．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x），对其进行求导，因为若f（x）在x=1和x=3处取得极值，可知1、3是方程f′（x）=0的两根，从而求出m和n；
（2）题意知，当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，再根据韦达定理进行证明；

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx（b、c为常数），
∴f'（x）=x²+（b-1）x+c
据题意知1、3是方程x²+（b-1）x+c=0的两根，
∴1-b=1+3=4，c=1×3=3，
即b=-3，c=3
（2）由题意知，当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0
∴x1，x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根
则x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c
∴b=1-（x₁+x₂），c=x₁x₂
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1-(x1+x2)]2-2[1-(x1+x2)]-4x1x2=(x2-x1)2-1
∵x₂-x₁＞1，
∴(x2-x1)2-1＞0，
∴b²＞2（b+2c）

点评：此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，这是高考必考的考点，此题是一道中档题；