Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-的面ABB₁A₁所在平面内有一点P，满足P到棱所在直线的距离等于P到棱CC₁所在直线的距离，延长棱B₁B至点E，使得，过点E作平行于的直线l交动点P的轨迹Γ于点M，N，在分别过M，N做轨迹Γ的切线交于点Q，则△MQN的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意求出点P的轨迹为双曲线，在平面ABB₁内运用圆锥曲线知识求出M、N、Q三点的坐标，则三角形MNQ的底边和高可求，从而求出面积．
解答：解：如图，以AB所在直线为x轴，BB₁所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设P（x，y），由题意可得，x²+a²=（a-y）²（y≤0），
所以P点的轨迹是双曲线的一支，
因为=，所以E点的纵坐标为，
代入双曲线方程得：M（-a，），N（a，）．
设过M点的曲线的切线的斜率为k，则：切线方程为，
与双曲线方程联立得：
由=
得：，所以k=，
把代入切线方程并取x=0得：，即Q点的纵坐标为，
所以三角形MNQ的高为，
所以．
故选D．
点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了数学转化思想和方程思想，考查了圆锥曲线知识，训练了学生的运算能力，正确得到点P的轨迹是该题的难点，此题有一定难度．