Question

（2012•钟祥市模拟）在数列{a_n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）把已知等式中的n换成n-1，再得到一个式子，两式想减可得

an+1

an

=

3n

n+1

，求得 a₂=1，累乘化简可得数列{a_n}的通项a_n ．
（2）an≤(n+1)λ?λ≥

an

n+1

，由（1）可知当n≥2时，

an

n+1

=

2•3n-2

n(n+1)

，f(n)=

n(n+1)

2•3n

(n≥2，n∈N*)，可证{

1

f(n)

}是递增数列，又

1

f(2)

=

1

3

及

a1

2

=

1

2

，
可得λ≥

1

f(2)

，由此求得实数λ的最小值．

解答：解：（1）当n≥2时，由a₁=1 及 a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1(n∈N*)   ①可得
a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=

n

2

an(n∈N*) ②．
两式想减可得  na_n =

n+1

2

an+1-

n

2

an，化简可得

an+1

an

=

3n

n+1

，∴a₂=1．
∴

a3

a2

•

a4

a3

•

a5

a4

…

an

an-1

=

an

1

=

6

3

×

9

4

×

12

5

×…×

3(n-1)

n

=

3n-2[2×3×4×…×(n-1)]

3×4×5×…×n

=

2

n

×3n-2．
综上可得，an=

1，n=1 2 n •3n-2，n≥2

．…（6分）
（2）an≤(n+1)λ?λ≥

an

n+1

，由（1）可知当n≥2时，

an

n+1

=

2•3n-2

n(n+1)

，
设f(n)=

n(n+1)

2•3n

(n≥2，n∈N*)，…（8分）
则f(n+1)-f(n)=

2(n+1)(1-n)

2•3n-1

＜0，
∴

1

f(n+1)

＞

1

f(n)

(n≥2)，
故当n≥2时，{

1

f(n)

}是递增数列．
又

1

f(2)

=

1

3

及

a1

2

=

1

2

，可得λ≥

1

f(2)

，所以所求实数λ的最小值为

1

3

．…（12分）

点评：本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，数列与不等式综合，数列的函数特性的应用，属于难题．